为便于自己理解顾沛的《简明抽象代数》所写, 不做证明, 如理解有误, 欢迎指出。

烦请想学习抽象代数的先看课本，勿直接看本文。此外，关于基础数学的学习我也才起步，因此内容仅供参考。

(资料图)

算是开始有意思的一个小节。

原文：一旦证明了一个代数体系和某个已知的代数体系同构，就可以在抽象意义下看成是已知的代数体系。

首先是同态和同构的定义：

定义：群，为前到后的映射，若满足

则称其为同态映射，若为双射，称为同构映射，两者符号分别为。

自然同态：，：。则  是满同态， 为  到商群的自然同态。

在满同态的前提下，举个例子：

集合和集合，分别对  和  构成群。

满足  的映射为

：分别映射到 。

那么 是的同构。

细节方面不太严谨，但简而言之，就是对于一个满同构，我们把映射到同一个元素的所有元素看成一个整体，就能构造出单射且保持满射，即双射。

实际上同构的条件很严格，所以我们退而求其次找同态，如果是满同态的话，更可以通过上面的过程转化为同构。

其余书上的性质证明和理解都没有难度，故略。

那有没有更通用的方法，根据满同态构造同构呢？就用到了群同态基本定理。

首先是同态核的定义：

定义： 是群  到  的同态，则 的幺元  的所有原象  称为同态映射的核，记为 。

自然同态定义中的 正规子群 恰好对应映射的同态核，因为 的幺元就是  ，而使得映射到  只会是  本身的元素。

那么对于其他的映射，我们有怎样的结论呢？

定理： 是群  到  的同态，则 。

即同态核是群的正规子群。

基于同态核的定义，我们有本小节最重要的定理：

群同态基本定理： 是群  到群  满同态映射，则 。

这既是定理，也是方法。商群的运算即为代表元的运算，也即集合的运算，我们根据上述定理构建了集合到元素的对应，虽然还不清楚  的更多特点，但是可以看出来，同态核中的元素数量越少， 的性质越清晰。

下面是一个有意思的推论，满同态毕竟要求满射，但是我们可以人为地在同态的基础上构造出满射：把没有被映射的象删除。

推论： 是群  到另一个群的同态映射，则根据同态基本定理，。

此时再回到之前的自然同态的定义上，我们发现映射  是满同态的，那么显然根据推论  就可以看成是同态象  。

由此的启发就是

群之间的满同态映射，可以看成是一个群到某个商群的自然同态

对于不同的  ，群  会生成不同的商群。

要找出所有的同态象，我们就要找出  所有的商群，也即找到所有的正规子群。

而前述标蓝的定理告诉我们， 是  的正规子群。因此问题也可归结于寻找到所有的映射的同态核。

剩余定理很难直观的找到理解方式或者证明思路，故略，单纯看证明即可。后续有思路了再补充。